Das Fadenspendel wird fast immer im Physikunterricht durchgenommen, wenn es um Schwingungen geht. Beim Fadenpendel wird eine Masse m an einem bestenfalls masselosen Faden der Länge L angebracht:

Lenkt man das Pendel einmalig aus seiner Ruhelage aus, beginnt es zu Schwingungen. Die Zeit für eine vollständige Schwingung von links nach rechts und wieder nach links nennt man Periodendauer τ:

Achtung: Die benötigte Zeit für einen Nulldurchgang zum nächsten entspricht nur τ/2!

Die Schüler können nun selbst untersuchen, von welchen Größen diese Periodendauer abhängt. In Frage kommen die Masse m, die Fadenlänge L bzw. die Startauslenkung. Vielleicht etwas überraschend zeigt die Periodendauer keine Abhängigkeit von m und auch nahezu nicht von der Startauslenkung, sondern diese hängt nur von der Fadenlänge L ab. Es gilt die Formel:

Wie man sieht, kommt in der Formel für τ auch die Erdbeschleunigung g vor. Die Schüler können also mittels der gemessenen Fadenlänge L und Periodendauer τ die Erdbeschleunigung g ermitteln, welche ja bei 9.81 m/s² liegt.

Älteren Schülern kann man auch die recht einfache Herleitung dieser Formel präsentieren:

Wie man sieht, hat man den Sinus des Winkels φ mit dem Winkel φ gleichgesetzt. Dies gilt allerdings nur für kleinere Winkel bis zu ca. 20°, darüber nimmt die Abweichung deutlich zu. Achtung: Man darf natürlich nur den Winkel im Bogenmaß für diese Übereinstimmung heranziehen. Der Vollwinkel 360° entspricht ja im Bogenmaß 2·π. Es gilt daher die Beziehung: 1° ≡ 2·π / 360 rad.

Nehmen wir einen Winkel von z.B. 3° = 0.052360 rad. Nun bilden wir den Sinus: sin(3°) = 0.052336. Wie man sieht, stimmen Winkel im Bogenmaß und der Sinus dieses Winkels nahezu perfekt überein.

Bei einem Winkel von 90° ≡ π/2 rad = 1.571 rad sieht das schon komplett anders aus. Es gilt ja: sin(90°) = 1 ≠ 1.571. Diese Gleichsetzung sin(φ) ≈ φ ist also nur wie schon gesagt für kleine Winkel legitim.

Das auf die Masse wirkende Drehmoment T beträgt ja T(φ) = –m · g · L · sin(φ). Wenn man sin(φ) durch φ ersetzt, rechnet man mit einem vor allem bei größeren Auslenkungen zu großem Drehmoment T, als es in Wirklichkeit ist! In Wahrheit wird das Pendel etwas schwächer wieder zur Ruhelage gedrängt. Daher ist die reale, echte Periodendauer etwas größer als die oben theoretisch ermittelte. Dieser Unterschied macht sich aber erst bei Auslenkungen von >30° richtig bemerkbar.

In diesem ersten Experiment geht es darum, diese Periodendauer-Abhängigkeit von der Auslenkung zu überprüfen. Dazu verwende ich wieder einmal einen Arduino und eine Laserlichtschranke:

Der einfache Arduino-Code:

#include <LiquidCrystal_I2C.h>
#include <Wire.h>

LiquidCrystal_I2C lcd(0x27,16,2);  // set the LCD address to 0x27 for a 16 chars and 2 line display. ACHTUNG: Adresse kann auch 0x3F sein !!!

// Anschlüsse:
// GND - GND
// VCC - 5V
// SDA - ANALOG Pin 4
// SCL - ANALOG pin 5


int sensor = 2; 
unsigned long currentTime;
unsigned long lastTime;
float period;

int n;     // number of rotations



// ===========================
// =======   SETUP   =========
// ===========================

void setup()
   {
    Serial.begin(9600);
    
    // initialize the sensor-pin as an input:
    pinMode(sensor, INPUT);
    
    attachInterrupt(digitalPinToInterrupt(sensor), pulse, FALLING);         // Setup Interrupt
   
    lcd.begin();        // initialize the lcd
    lcd.backlight();
    lcd.setCursor(0,0);
    lcd.print("Fadenpendel");
    lcd.setCursor(0,1);
    lcd.print("    ");
    
    delay(3000);
    
    lcd.setCursor(0,0);
    lcd.print("             ");
    lcd.setCursor(0,1);
    lcd.print("            ");

    lastTime = millis();

    n = 0;
   }


// ========================
// =======  LOOP  =========
// ========================

void loop ()
   {    
    lcd.setCursor(0,0);
    lcd.print("tau = ");
    lcd.print(period/1000, 3);
    lcd.print(" sek      ");

    lcd.setCursor(0,1);
    lcd.print("n = ");
    lcd.print(n);
    lcd.print("    ");
        
   }

// =============================
// =======  INTERRUPT  =========
// =============================

void pulse () // Interrupt function
   {
    n = n + 1;

    if (n % 2 == 0)    // registrate the pulse only if n is even, so only every second pulse
       {
        currentTime = millis();
        
        period = currentTime - lastTime;

        lastTime = currentTime;
       }
   }

 

Das Interrupt wird nur bei jeder 2-ten Unterbrechung des Laserstrahls ausgeführt. Dies deshalb, weil ja eine vollständige Periode erst bei der übernächsten Unterbrechung vergangen ist!

Das Fadenpendel habe ich in meinem Türrahmen fixiert und unten mehrere Schrumpfschläuche über die Nylonschnur gestülpt, damit der Laserstrahl auch ordentlich unterbrochen wird:

Der schwache rote 5 mW Laser…

… und die schnelle Photodiode SFH203:

Bei einer geringen Startauslenkung von ca. 5° erhielt ich eine Periodendauer von τ = 2.758 sek:

Bei 10° waren es τ = 2.764 sek:

Die tatsächliche, richtige Formel für das Fadenpendel lautet wiefolgt:

Bei einer Periodendauer von 2.75 sek bei φ₀ = 0° (Anm.: Dies würde dann natürlich aber keiner Schwingung entsprechen) ergeben sich folgende Werte:

Es wäre also mit einer Zunahme von 4 ms zu rechnen, wenn die Amplitude von 5° auf 10° wächst. Tatsächlich stieg meine Periodendauer von 2.758 sek auf 2.764 sek um 6 ms an. Das passt ja sehr gut 😉 Ich muss aber dazu sagen, dass die angezeigten Periodendauern doch um wenige ms immer schwankten.

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Gedämpfte Schwingung

Ohne ständige Energiezufuhr kommt die Schwingung des Fadenpendels natürlich immer zum Erliegen. Dies deshalb, weil der Luftwiderstand und die Reibung der Aufhängung zu Energieverlusten führen. Die Amplitude der Schwingung nimmt also mit der Zeit ab. Aber wie genau nimmt sie ab?

Würde die linear abnehmen, dann würde die Amplitude nach einer bestimmten Teit t nur noch x₀/2 betragen und nach 2 · t wäre die Schwingung gänzlich verschwunden. Dies ist natürlich nicht der Fall. Die Amplituden nehmen prozentuell immer um denselben Faktor ab, zum Beispiel um den Faktor 0.99 zwischen zwei hintereinander stattfindenden Amplituden. Nach n Amplituden beträgt diese dann nur noch x₀ · 0.99^ n. Wir haben es hier mit einer exponentiellen Abnahme zu tun. Es gilt also:

Trägt man also den Logarithmus der Schwingungsamplituden gegen die Zeit t auf, so müsste man eine fallende Gerade erhalten mit der Steigung k = Dämpfungsfaktor k! Genau das habe ich experimentell vor…

Um eine relativ stark gedämpfte Schwingung zu erhalten verwende ich eine 8 cm große Styroporkugel, in deren Mitte sich eine schwere Mutter befindet:

Das Fadenpendel mit der Styroporkugel filmte ich über ca. 12 Minuten. Das Video wertete ich dann mit der kostenlosen Software Tracker aus:

Mich interessierten nur die maximalen Auslenkungen in Abhängigkeit von der Zeit t:

Der fertige Graph x₀(t), eine sehr schöne Exponentialfunktion, Heureka…

Trage ich ln(x₀) auf, so erhalte ich eine einigermaßen lineare Abnahme mit der Steigung k = –0.0084:

Mein Dämpfungsfaktor beträgt also k = 4.2 / 500 = 0.0084 ….

…. und daher die gesamte gedämpfte Schwingung:

Diese Versuche eignen sich vorzüglich für das schulische Physiklabor, da sie erstens die wichtige Thematik Schwingungen behandeln und zweitens auch sehr kostengünstig umzusetzen sind. Inklusive Arduino kostete mich der ganze Spaß um die 30 Euro.

Das Youtube-Video reiche ich wie immer nach…