Wellen sind ja sich in den Raum ausbreitende Schwingungen. Doch von was hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen ab? Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s aus. Doch wie sieht es mit Wellen in einem Festkörper aus? Um der Frage auf den Grund zu gehen, habe ich vor rund 20 Jahren eine Simulation zur Wellenausbreitung in Turbo Pascal erstellt. Das Modell besteht aus einzelnen Atomen mit der Masse m, welche miteinander über Federn mit der Federkonstante k verbunden sind. Zum Start lenke ich das erste Atom sinusförmig aus. Danach gehorchen die einzelnen Atome der Newtonschen Bewegungsgleichung F = m·a, wobei für die Kraft F das Hooksche Federgesetz F = k·Δl eingesetzt wird. Diese Differentialgleichungen habe ich mittels der Euler-Methode iterativ gelöst. Die Bewegung der Atome ist in y-Richtung eingeschränkt. Zu Beginn einzugeben ist die Anzahl der Atome, deren Masse m und die Federkonstante k. Zudem kann noch zwischen transversaler oder longitudinaler Auslenkung ausgewählt werden und ob man die Reflexion am freien oder festen Ende möchte.

Freies oder fixes Ende beeinflusst das Reflexionsverhalten der Welle. Bei einem freien Ende wird ein Wellenberg wieder als Wellenberg reflektiert. Bei einem fixen Ende kommt ein Wellenberg als Wellental zurück.

Zur Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit wird einfach die Zeit t notiert, bei der sich das letzte Atom ganz rechts erstmalig zu bewegen beginnt. Die Geschwindigkeit v berechnet sich dann einfach aus Pixelanzahl/Zeit t. Diese wird dann in Abhängigkeit von m bzw. k bei jeweils konstantem k bzw. m erfasst.

Wie man sieht nimmt mit zunehmender Federkonstante k die Geschwindigkeit v zu. Bei härteren Federn breitet sich also die Welle schneller aus als bei weichen Federn. Der Graph v = v(k) sieht folgendermaßen aus:

Wie sieht es bei gleicher Federkonstante k aber unterschiedlichen Massen m aus?

Hier liegt genau eine verkehrte Proportionalität vor. Je größer die Masse m der Atome, desto langsamer breitet sich die Welle aus. Steigendes m liefert also ein sinkendes v. Für den Graph v = v(m) erhält man:

Um die genaue funktionale Abhängigkeit der Geschwindigkeit v von den Größen k und m herauszufinden, geht man wiefolgt vor:

Die Potenz von k in der Formel v = v(k,m) muss daher 0.5 sein. Wie sieht es für die Potenz von m aus?

Die Potenz von m muss demnach –0.5 sein. Daher ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen v und den Größen k und m:

In der Literatur findet man folgende Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einem Festkörper:       

Anstelle der Federkonstante k tritt das Elastizitätsmodul E und anstelle der Masse m die Dichte ρ. Dies leuchtet aber auch ein. Denn das Elastizitätsmodul E ist gleich der notwendigen Kraft pro m², um einen Körper der Länge L auf seine doppelte Länge zu dehnen. Daran erkennt man die Ähnlichkeit zur Federkonstante k, welche ja der Kraft F entspricht, um die Feder um einen Meter zu dehnen. Die Zusammengehörigkeit der Masse m und der Dichte ρ ist ebenfalls offensichtlich, da ja die Dichte der Masse pro m³ entspricht.

Mit dieser einfachen Simulation haben wir also eine reale Formel zur Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen hergeleitet, voila…

Zum Abschluss noch das uralte Turbo-Pascal-Programm: