Plancksches Strahlungsgesetz

Ein Körper mit einer bestimmten Temperatur T strahlt elektromagnetische Strahlung, sprich Licht ab. Dies bemerkt man zum Beispiel in einer Schmiede oder in einem Induktionsofen, wenn das Eisenstück auf eine hohe Temperatur gebracht wird.

Das Spektrum jener Strahlung war um das Jahr 1900 herum bereits bekannt, nur konnte man es nicht zufriedenstellend theoretisch herleiten.

Zwei vorhandene theoretische Näherungen scheiterten, den spektralen Intensitätsverlauf dieser Wärmestrahlung vollständig zu beschreiben. Während das Rayleigh-Jeans-Gesetz nur für große Wellenlängen (niedrige Frequenzen) mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmte und für steigende Frequenzen fälschlicherweise die sog. Ultraviolettkatastrophe vorhersagte, sagte das Wiensche Strahlungsgesetz den richtigen Intensitätsverlauf nur für kleine Wellenlängen (große Frequenzen) voraus.

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Planck#/media/Datei:Max_Planck_(1858-1947).jpg

Der deutsche Physiker Max Planck widmete sich dieser theoretischen Herausforderung der sog. Schwarzkörperstrahlung. Er postulierte, dass elektromagnetische Strahlung nur in Energieportionen E = h · f = h · c / λ abgegeben werden kann. Dies kann man als Geburtsstunde der Quantenphysik bezeichnen. Unter dieser Annahme erhielt er einen zu erwartenden Intensitätsverlauf, welcher ausgezeichnet mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmte.

Die von ihm hergeleitete Formel für den spektralen Intensitätsverlauf lautet:

M_0_ν(ν, T) ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird. Möchte man diese Strahlungsleistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ darstellen, so benötigt man die Formel für M_0_λ(λ, T). Diese gibt demnach die Strahlungsleistung an, die vom Flächenelement dA im Wellenlängenbereich zwischen λ und λ + dλ in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird. Neben der Frequenz ν bzw. der Wellenlänge λ hängt der Intensitätsverlauf entscheidend von der Temperatur T ab:

Was erkennt man anhand obiger Spektren? Je höher die Temperatur T, desto weiter verschiebt sich das Strahlungsmaximum nach links in Richtung kleinerer Wellenlänge. Bei einer Temperatur von zum Beispiel 5800 K liegt das Strahlungsmaximum bei einer Wellenlänge von ca. 500 nm. Dies entspricht auch etwa dem Intensitätsverlauf unserer Sonne. Deren Oberflächentemperatur muss daher auch in diesem Bereich liegen. Die einfache Beziehung zwischen λ_max und Temperatur T beschreibt das Wien’sche Verschiebungsgesetz, welches lautet:

λ_max [in μm] = 2897,8 / T [in K]

Bei einer Temperatur von z.B. 3000 K besitzt die Plancksche Strahlungskurve bei λ_max =0.966 μm = 966 nm ihr Maximum.


Experimente

Variante 1: Prismenspektroskop

Wie kann man nun diese Plancksche Strahlungskurve experimentell ermitteln? Als schwarzer Strahler eignet sich etwa eine gewöhnliche Glühbirne. Ich verwende konkret ein 12V/5W Modell.

Über die anliegende Spannung U und der Stromstärke I läßt sich der Widerstand R = U/I der Glühwendel berechnen. Dieser Widerstand hängt von der Temperatur T ab. Es gelten dabei folgende Zusammenhänge:

Kennt man das Verhältnis aus aktuellen Widerstand R zum Widerstand R_20 bei Raumtemperatur, so kann man einfach die Temperatur T der Glühwendel berechnen.

Hier die fertige Glühbirnenansteuerung inkl. 4 Stellen Ampere- und Voltmeter:

Um das Lichtspektrum der Glühbirne in Abhängigkeit von der Temperatur T zu ermitteln, verwende ich als dispersives Medium ein Glasprisma. Dieses gibt es schon für unter 10 Euro auf ebay.com zu kaufen.

Als Lichtdetektor kommt der Sensor TSL252 zum Einsatz. Dieser benötigt lediglich eine Spannungsversorgung zwischen 2.7 und 5.5 V und liefert eine Ausgangsspannung proportional zur Lichtintensität. Betrieben wird der Sensor daher mit einer einzelnen 18650 Liion-Zelle.

Wie sieht nun der gesamte Aufbau zur Messung der Planckschen Strahlungskurve aus? Neben der Glühbirne, dem Prisma und dem Lichtsensor werden noch 2 Spalte und 2 Linsen benötigt:

 

Die Linsen (sog. Achromaten mit den Brennweiten f = 26.5 mm und f = 39.5 mm) erhält man etwa bei AstroMedia (https://astromedia.ch/de/produkt-kategorie/materialien-fur-selbermacher/glas-linsen/).

Damit ich bei der Positionierung der Linsen flexibel bin, klebe ich mit 2-Komponentenkleber an die Linsen jeweils einen Magnet. Dieser haftet dann stabil aber dennoch flexibel an einem gewöhnlichen L-Winkel aus Metall.

Den verstellbaren Spalt habe ich wie schon bei meinen anderen Spektroskopen mit 2 gewöhnlichen Rasierklingen umgesetzt. Diese liefern einen schön gleichmäßigen Spalt. Dessen Verstellbarkeit ist wichtig, da man einen guten Kompromiss zwischen einem möglichst scharfen Spektrum einerseits und einer ausreichenden Helligkeit andererseits finden möchte.

 

Um den Spektralverlauf zu erfassen, muss entweder das Prisma gedreht oder der Lichtsensor verschoben werden. Ich habe mich für letzteres entschieden. Damit ich bei mehreren Durchläufen immer genau weiß, wo sich der Sensor gerade befindet, kommt eine digitale Schiebelehre zum Einsatz. Diese wird auf die Grundplatte geklebt und der Lichtsensor auf den beweglichen Teil der Schiebelehre postiert. So kenne ich immer die exakte Position des Lichtsensors und ich kann Spektren aufnehmen, deren Spektralverlauf nun vergleichbar ist. Dies wird ja benötigt, wenn die Planckschen Strahlungskurven in Abhängigkeit von der Temperatur T der Glühbirne aufgezeichnet werden.

So, der geplante Aufbau nimmt schön langsam Formen an. Der ganze Aufbau findet auf einer Lochplatte (derzeit 210×100 mm, wird aber wohl eine größere benötigt) Platz und zum Ausrichten der ganzen Elemente verwende ich im Moment einmal Magnete an den Linsen bzw. Stuhlwinkeln. Als Lichtquelle wird wohl die 12V/5W Glühbirne meines Stefan-Boltzmann-Versuchs nicht ausreichen. Deshalb habe ich mir 14W und 20W Halogenlampen gekauft. Um diese auch gegebenenfalls austauschen zu können, verwende ich einen entsprechenden Sockel, konkret G4.

Ich habe mich zwischenzeitlich auch einmal schlau gemacht, für welche Wellenlängen Glas eigentlich nicht mehr so durchlässig wie im sichtbaren Bereich ist. Wie man anhand der Transmissionskurve von Borosilikatglas sieht, ist die Transmission im für mich wichtigen Spektralbereich von 800 nm bis 1700 nm sehr hoch.

Bildquelle: https://www.pgo-online.com/de/kurven/boro_kurve.html

Die verwendeten Halogenlampen arbeiten ja bei Temperaturen bis maximal ca. 3000 K. Für diese Temperatur befindet sich nach dem Wien’schen Verschiebungsgesetz das Maximum der Planckschen Strahlungskurve bei rund 970 nm. Jetzt ist die im Sensor TSL252 verbaute Silizium-Photodiode nur bis rund 1100 nm sensibel. Dies würde bedeuten, dass ich lediglich bei der Höchsttemperatur von 3000 K die Chance habe, das Maximum schön abzubilden. Bei zum Beispiel 2000 K liegt das Maximum bereits bei 1.45 µm, also im für die Photodiode unsichtbaren Bereich. Ich möchte aber unbedingt das ausgebildete Maximum mit dem Lichtsensor erfassen und nicht bloß die in Richtung größerer Wellenlänge ansteigende Flanke.

Aus diesem Grund habe ich auch eine InGaAs-Photodiode vom Typ LSIPD-A75 auf ebay.com gekauft. Anders als die gewöhnlichen Silizium-Photodioden sind jene aus Indium-Gallium-Arsenid auch im Bereich bis zu ca. 1800 nm sensibel. Und genau dieser Bereich ist ja für die Aufzeichnung der Planckschen Strahlungskurve bei Temperaturen < 3000 K entscheidend.

So, ich habe heute erstmalig versucht, das Spektrum einer weißen LED mit den obigen Linsen (f = 26.5 mm bzw. 39.5 mm) und dem Prisma (brechender Winkel γ = 60°) abzubilden. Das Ergebnis war ernüchternd. Ich erhielt kein wirkliches Spektrum, sondern mehr oder weniger nur einen weißen Strich.

Deshalb habe ich mich einmal rechnerisch der Sache angenommen. Die Dispersionskurve von Quarzglas liefert für den sichtbaren Spektralbereich einen Brechungsindex von 1.47 für 400 nm bis 1.457 für 640 nm.

Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/Komplexe_Brechzahl_von_Siliciumdioxid_300_K.svg

Die Verhältnisse beim Prisma sind wiefolgt:

Mit dieser Formel lässt sich also der Gesamtablenkwinkel φ in Abhängigkeit von der Brechzahl n berechnen. Der zugehörige Graph sieht wiefolgt aus:

In dem für mich interessanten Brechzahlbereich zwischen 1.457 und 1.47 ergibt sich ein totaler Ablenkwinkel φ von 34.19° bzw. 35.44°. Das bedeutet, dass die Lichtstrahlen von UV (400 nm) und Rot (640 nm) nur mit einem Winkel von 1.25° hinter dem Prisma divergieren. Da hätte ich ehrlich gesagt mit deutlich mehr gerechnet. Bei einer Abbildungslinse mit f = 39.5 mm ergibt dies eine mehr als bescheidene Länge des Spektrums von nur 0.86 mm.

Dies erklärt aber den ersten experimentellen Misserfolg. Da ich die Dispersion des Glasprismas nicht beeinflussen kann (außer ich kaufe mir natürlich eines mit größerer Dispersion), kann ich nur die Brennweite der Abbildungslinse (derzeit eben nur 39.5 mm) vergrößern, um ein längeres Spektrum zu erhalten. Eine Länge von zumindest 3 mm wäre schon schön. Dafür benötigt die Abbildungslinse dann eine Brennweite im Bereich von 12 cm.

Die bereits eingetroffene digitale Schiebelehre zur Positionierung des Lichtsensors besitzt eine Auflösung von 0.1 mm. Dies würde zur erhofften Länge des Spektrums dann gut passen.

 

Ich habe mir jetzt einmal 2 Linsen mit f = 156.4 mm und f = 182.8 mm bestellt. Damit müsste wie gesagt das sichtbare Spektrum ca. 3.5 -4 mm lang werden. Ich werde auch noch einmal eine Kombination zweier Prismen ausprobieren. Damit müsste ich die Aufspaltung auch in etwa verdoppeln.

Für die Abbildungslinse mit längerer Brennweite habe ich mir natürlich auch eine größere Lochplatte (diese misst nun 300 x 200 mm) besorgen müssen.

So, die InGaAs-Photodiode LSIPD-A75 ist angekommen. Falls das mit der Silizium-Photodiode TSL252 als Detektor nichts wird (was ich vermute), so werde ich die LSIPD-A75 mit meinem Transimpedanzverstärker betreiben.

Die neuen Linsen mit größerer Brennweite zur Vergrößerung des Spektrums sind heute angekommen. Ein erster Versuch mit der Linse mit f = 182.8 mm verlief erfolgreich. Das sichtbare Spektrum ist nun ca. 4 mm lang. Wenn ein Wellenlängenbereich von 250 nm (400 nm nach 650 nm) ein rund 4 mm langes Spektrum ergibt, dann kann ich für die restlichen 1000 nm (von 650 nm nach 1650 nm) einmal grob mit ca. 10-12 mm rechnen. Die Dispersionskurve flacht ja bei höheren Wellenlängen deutlich ab (siehe Abbildung weiter oben).

So sehen nun der geplante Aufbau und das erste zufriedenstellende Spektrum aus:

  

Hier noch die zu erwartenden Planckschen Strahlungskurven für T = 2000 K, 2500 K und 3000 K im Wellenlängenbereich [400 nm,1800 nm]. In dieser Größenordnung liegen die zu erwartenden Temperaturen der Halogenlampe und die von den Photodioden erfassten Wellenlängen.

 

Der Aufbau ist soweit fertig. Durch die Magnete ist die Justierung der optischen Elemente eigentlich gar nicht so schwierig. Die Schiebelehre am Ort des Spektrums lässt sich auch ausreichend weit verschieben. Jetzt sind nur noch die Intensitätsmessungen in Abhängigkeit von der Temperatur der Halogenlampe ausständig. Die InGaAs-Photodiode LSIPD-A75 spricht wie erwartet nicht auf sichtbares Licht an. Halte ich aber die Fernbedienung vor die Photodiode, so ist eine Ausgangsspannung mit meinem TIA messbar.

Ich habe heute erste Messungen gemacht. Die Intensitätssteigerung mit zunehmender Temperatur erfasst die Photodiode natürlich sehr gut. Nur war ich etwas überrascht über die doch nur sehr geringe Verschiebung des Maximums mit ändernder Temperatur. Da sind oft nur 0.1 mm dazwischen. Ich habe mir die Dispersionskurve von Glas daher nochmals angeschaut. Für das Wellenlängenintervall [640 nm, 1400 nm] beträgt die Dispersion nur rund 1°. Dies macht bei einer Brennweite der Abbildungslinse von 182.8 mm eine Länge des Spektrums für diese 760 nm Wellenlängenunterschied von lediglich 3.2 mm. Die Photodiode ist ja bis ca. 1700 nm sensibel. Da kommt dann noch etwa 1 mm dazu, wenn ich bis 1700 nm gehe. Macht also eine Länge des gesamten IR-Spektrums von nur 4.2 mm. Dies verdeutlicht aber die Schwierigkeit der Erfassung der Maximumverschiebung. Zwischen 2000 K und 3000 K wandert dieses nämlich nur um 483 nm in Richtung kürzerer Wellenlänge. Am Ort der Photodiode entspricht dies einer Strecke von nur ca. 1.9 mm.

Vor der Photodiode habe ich nun ein Kupferblech mit einem sehr dünnen Schlitz postiert. Die Photodiode selbst besitzt nämlich eine Öffnung von rund 1.5 mm, was viel zu groß für die Messung wäre. Die genauen Messungen der Intensitätsverläufe abhängig von T werde ich dann mit meinem Sohn durchführen und hier veröffentlichen. Ich habe noch bei Roithner-Lasertechnik 3 IR-LEDs mit 1200 nm, 1550 nm und 1650 nm geordert. Damit möchte ich überprüfen, ob erstens die ganze Apperatur für IR durchlässig ist (was sie laut Transmissionskurve für Glas sein müsste) und zweitens ob der IR-Anteil des Spektrums wirklich so dermaßen kurz ist, wie oben berechnet.

 

 

 

 

 

 

 


Variante 2: Gitterspektroskop

Da ein Prisma gerade im Infrarotbereich eine extrem flache Dispersionskurve (siehe oben) besitzt und sich daher der Brechungsindex n nur noch sehr wenig mit der Wellenlänge λ ändert, eignet sich ein solches nicht wirklich gut zur Aufnahme der Planckschen Strahlungskurven. Abhilfe würde hier ein optisches Gitter schaffen.

Ein solches mit 100 Linien/mm habe ich gerade bestellt. Damit beträgt der Beugungswinkel für λ = 400 nm etwa 2.3°, für λ = 800 nm daher 4.6° und für 1700 nm rund 9.8°. Der Infrarotbereich spannt also einen Winkel von 5.2° auf. Bei einer Bildweite von rund 15 cm entspricht dies einer Länge des Spektrums von 1.365 cm.

Jetzt hätte man aber mit einem optischen Gitter folgendes Problem: Die Formel zur Berechnung des Beugungswinkels φ lautet ja

sin(φ) = n · λ / d       mit     n …. Beugungsordnung, λ …. Wellenlänge, d …. Gitterkonstante

Wie man daraus erkennt, sind die beiden Beugungswinkel für n = 2, λ = 600 nm und n = 1, λ = 1200 nm ident. Die verschiedenen Ordnungen überlagern sich also und man würde mit einer für sämtliche Wellenlängen sensiblen Photodiode eine Überlagerung/Summe der einzelnen Beugungsordnungen messen. Die Zuordnung einer Intensität zu einer bestimmten Wellenlänge wäre also nicht mehr möglich.

Jetzt ist die verwendete Photodiode zum Glück nur im Wellenlängenintervall [800 nm, 1700 nm] sensibel. Von daher stören die höheren Ordnungen geringerer Wellenlänge nicht mehr. Das z.B. 3-te Beugungsmaximum von λ = 400 nm stört also nicht mehr das 1-te Beugungsmaximum von λ = 1200 nm, denn die Photodiode LSIPD-A75 ist sowohl im UV-Bereich, also auch im kompletten sichtbaren Spektralbereich absolut blind. Einzig für λ ≥ 800 nm, n = 2 und λ ≥ 1600 nm, n = 1 kommt es zu einer Überlagerung der einzelnen Ordnungen. Dies dürfte aber experimentell verschmerzbar sein.

Ich hoffe natürlich, dass das Beugungsgitter auch im IR-Bereich durchlässig ist. Falls ja, dürfte mit dem Gitterspektroskop ein deutlich längeres IR-Spektrum erzielt werden als mit dem Prismenspektroskop.

Wenn die bestellten Teile eingetroffen sind, geht es hier weiter…