Abbildung entnommen dem Physikkatalog von 3B scientific

Mit einem sog. ballistischen Pendel lässt sich die Geschwindigkeit von Projektilen/Pfeilen bestimmen. Die Basis für die Berechnung bilden der Impulserhaltungs- und Energieerhaltungssatz. Diese besagen, dass der Gesamtimpuls vor/nach dem Stoß konstant ist bzw. die Energie vor/nach dem Stoß gleich bleibt. Wie wir sehen werden, führt der Einschlag des Pfeiles zu “Energieverlusten”, sodass wir für eine korrekte Berechnung der Pfeilgeschwindigkeit auf den Impulserhaltungssatz zugreifen müssen.

Wie sieht die Physik hinter dem ballistischen Pendel aus? Ein Pfeil mit der Masse m_P werde mit einer Geschwindigkeit v_P auf ein Ziel (konkret ein mit Holz beschwerter Schaumstoffkörper) mit der Masse M geschossen, welches an einem Seil aufgehängt ist. Der Pfeil bleibt im Ziel stecken und das Pendel vollführt dadurch Schwingungen mit einem maximalen Auslenkungswinkel α.

Über den Auslenkwinkel α lässt sich der Höhengewinn h wiefolgt berechnen:  h = L – L · cos(α)

Der Energieerhaltungssatz besagt nun, dass während der Auslenkung des Pendels bei Vernachlässigung von Reibung (z.B. in der Aufhängung oder durch den Luftwiderstand) die Gesamtenergie E = Summe der kinetischen Energie E_kin + potentielle Energie E_pot konstant bleibt. Zu Beginn der Auslenkung direkt nach dem Eindringen des Pfeils verfügt das Ziel nur über kinetische Energie (Bewegungsenergie), welche dann mit zunehmender Auslenkung in potentielle Energie (Energie der Lage) umgewandelt wird.

Setzt man in die Formel den Höhengewinn h ein, so lässt sich die Geschwindigkeit v des Ziels (Schaumstoff + darin steckender Pfeil) berechnen.

Wie gelangt man nun aber zur Geschwindigkeit des Pfeils? Hierzu bedienen wir uns des Impulserhaltungssatzes:

Jetzt könnte man natürlich auch auf die Idee kommen, die Pfeilgeschwindigkeit über die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß zu berechnen. Hier müsste man wiefolgt ansetzen:

Wie man erkennen kann, unterscheiden sich beide Formeln zur Berechnung der Pfeilgeschwindigkeit v_P voneinander. Einmal befindet sich der Ausdruck mit den Massen unter einer Wurzel, im ersten Fall fehlt die Wurzel.

Welche Methode ist aber nun richtig? Betrachten wir hierzu einmal den Fall eines komplett inelastischen Stoßes zweier gleicher Münzen mit der Masse m:

Durch die Knetmasse wird garantiert, dass die beiden Münzen nach der Kollision beisammen kleben bleiben. Wollen wir die Geschwindigkeit v’ nach dem Stoß ermitteln, bedienen wir uns wieder des Impulserhaltungssatzes:

Man erkennt, dass der Stoß zu einem Energieverlust konkret um 50% der kinetischen Energie vor dem Stoß geführt hat. Genau aus diesem Grund dürfen wir also zur Berechnung der Pfeilgeschwindigkeit NICHT die kinetischen Energien des Ziels bzw. des Pfeils gleichsetzen! Zur Berechnung der Pfeilgeschwindigkeit müssen wir die Formel basierend auf der Impulserhaltung heranziehen, welche gelautet hat:

Würden wir die kinetischen Energien gleichsetzen, so hätten wir durch unberücksichtigte Verluste (Reibung, Wärme bzw. Verformung) eine zu geringe kinetische Energie des Pfeils erhalten und damit auch eine zu geringe Pfeilgeschwindigkeit!

Für dieses Experiment habe ich mir eine 50 lbs Armbrust gekauft:

Als Ziel verwende ich einen Block aus Styrodurplatten, welchen ich mit UHU POR zusammengeklebt habe:

Wenn ich das Experiment durchgeführt habe, geht es hier weiter…