Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Johann_Heinrich_Lambert_1829_Engelmann.png, public domain
Das Lambertsche Gesetz (auch Lambertsches Kosinusgesetz) beschreibt, formuliert von Johann Heinroich Lambert (1728 – 1777 ), wie durch den perspektivischen Effekt die Strahlungsstärke/Intensität mit flacher werdendem Abstrahlwinkel abnimmt. Wenn eine Fläche dem Lambertschen Gesetz folgt und die Strahldichte der Fläche konstant ist, so ergibt sich eine kreisförmige Verteilung der Strahlstärke/Intensität nach dem Gesetz I = I0 · cos(α).
Warum lässt sich der winkelabhängige Intensitätsverlauf durch einen Kreis darstellen? Nun, viele werden wohl den bekannten Satz von Thales aus der Schule kennen, wonach alle Dreiecke in einem Halbkreis rechtwinklig sind, wenn die Hypothenuse gleich dem Kreisdurchmesser ist:
Es gilt dann durch cos(α) = Ankathete / Hypothenuse der einfache Zusammenhang: Ankathete = 2 · r · cos(α). Anstelle von 2 · r tritt beim Intensitätsverlauf die maximale Intensität I0 normal auf die Obefläche, also bei α = 0°. Und schon haben wir die Beziehung I = I0 · cos(α). In Polarkoordinaten liegen also die Intensitäten I in Abhängigkeit vom Winkel α tatsächlich auf einem Kreis.
Für den Versuch benötigt man wie in der Abbildung oben bereits beschrieben eine diffus streuende Platte, zum Beispiel milchiges Acryl/Plexiglas. Weiters ist eine nahezu punktförmige Lichtquelle, z.B. ein Laser, notwendig. Warum?
Nehmen wir an, der Lichtsensor (z.B. eine Photodiode) erfasst einen bestimmten Öffnungswinkel β. Bei α = 0°, also in senkrechter Position zum Lichtfleck, erfasst der Lichtsensor gemäß der Beziehung Winkel = Bogen / Radius die Strecke d · β (in Bogenmaß). Neigt man aber den Lichtsensor um den Winkel α, so nimmt die erfasste Strecke (Anm.: Real handelt es sich natürlich nicht um eine erfasste Strecke, sondern um eine Fläche) zu! Bei α ≈ 90° ist diese theoretisch sogar unendlich groß.
Die Herleitung:
Für die erfasste Strecke gilt somit die Proportionalität 1 / cos(α). Die schräg ausgerichtete Photodiode erfasst also eine mit wachsendem α zunehmende Fläche, welche Licht abstrahlt. Und genau diese Zunahme um den Faktor 1 / cos(α) würde die diffuse Streuabnahme um den Faktor cos(α) nach dem Lambertschen Kosinusgesetz genau kompensieren. Die Photodiode würde als einen von α unabhängigen Messwert liefern. Hat man allerdings eine punktförmige Quelle, so erfasst die Photodiode bei Schrägstellung nicht mehr, sondern immer nur den gesamten, kleinen Lichtfleck. Es bleibt dann nur noch der Faktor cos(α) übrig, also genau das Lambertsche Kosinusgesetz. Genau deshalb verwende ich für dieses Experiment einen Laser…
Hier erkennt man das milchige Plexiglas, welches von hinten vom Laser beleuchtet wird:
Zum leichteren Ablesen des Winkels α habe ich mir eine Skala ausgedruckt:
Als Lichtdetektor kommt die Photodiode SFH203 zum Einsatz:
Der Schaltplan des gesamten Lichtdetektors, wobei über den Stufenschalter die Verstärkung eingestellt werden kann:
Für meine Aufbauten verwende ich öfters Holzteile der österreichischen Firma MATADOR (https://www.matador.at/). Ich habe schon als Kind in den 70er Jahren damit gespielt. Lieber hatte ich damals aber LEGO, welches ebenfalls hin und wieder für meine Aufbauten zum Einsatz kommt.
Hier sieht man schön den Verstellmechanismus der Photodiode:
Der gesamte Aufbau:
Der Lichtdetektor gibt eine vom Photodiodenstrom abhängige Spannung aus. Der Photodiodenstrom ist wiederum direkt proportional zur erfassten Lichtintensität.
Mit eingeschalteten Laser (nur rund 5 mW schwach):
Die Photodiode ist soweit vom Lichtfleck entfernt, dass unabhängig vom Winkel α immer der gesamte Lichtfleck erfasst wird!
Die eigentlichen Messungen müssen natürlich im Dunkeln erfolgen, dazu habe ich die Rollläden meines Balkonfensters heruntergelassen. So beträgt die Backgroundspannung des Lichtdetektors OHNE Laser 0.035V. Diesen Wert ziehe ich dann nachher von sämtlichen Messwerten ab.
Die Tabelle mit allen Messergebnissen:
Damit ich den Graph I(α) in Polarkoordinaten zeichnen kann, muss ich die Polarkoordinaten I und α in kartesische Koordinaten umwandeln. Es gilt dabei: x = I(α) · cos(90° – α) und y = I(α) · sin(90° – α). Für den theoretischen Verlauf nehme ich einfach die Lambert-Beziehung I(α) = I0 · cos(α).
Die Übereinstimmung Theorie-Experiment ist eigentlich sehr gut, bin wirklich sehr zufrieden damit. Wir konnten also auf sehr einfache und günstige Weise (Gesamtkosten ca. 50 Euro inkl. Lichtdetektor) das Lambertsche Kosinusgesetz nachweisen, Heureka 😉
