Mie-Streuung

In der Optik werden folgende Phänomene unterschieden:

  • Lichtreflexion
  • Lichtbrechung
  • Beugung
  • Streuung

Lichtspiegelung (Reflexion) und Lichtbrechung treten an den Grenzflächen zweier verschiedener Medien auf. Das Reflexionsgesetz kennt wohl jeder. Es lautet


Bei der Lichtbrechung (Refraktion) ändert das Licht beim Übergang von einem Medium in ein anderes seine Ausbreitungsrichtung. Entscheidend für die Lichtbrechung ist der sog. Brechungsindex n der beiden Medien. Dieser Brechungsindex n gibt das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium an, also n = c_Vakuum / c_Medium.

Da sich nichts schneller als Licht im Vakuum ausbreiten kann und sich selbst Photonen an dieses Gesetz halten müssen, folgt für sämtliche Medien n > 1. Luft besitzt etwa einen Brechungsindex von n_Luft = 1.000292, Wasser rund n_Wasser = 4/3 und optische Gläser im Bereich um n_Glas = 1.5.

Besitzen beide Medien den Brechungsindex n1 und n2, so gilt folgendes Brechungsgesetz nach Snellius:

Tritt Licht vom optisch dünneren Medium (d.h. dieses Medium hat einen geringeren Brechungsindex n als das zweite Medium) in ein optisch dichteres Medium, so gilt n2/n1 > 1 und demnach auch sin(α1)/sin(α2) > 1 bzw. α1/α2 > 1. Es erfolgt durch α1 > α2 eine Brechung zum Lot:

Umgekehrt tritt Licht aus einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium, so gilt n2/n1 < 1 und in weiterer Folge α1 < α2. Man spricht von einer Brechung vom Lot:

Zur Brechung vom Lot ist noch zu sagen, dass bei zunehmenden α1 der Austrittswinkel α2 stärker/schneller anwächst. Bei einem bestimmten Eintrittswinkel α1_total ist der Austrittswinkel α2 = 90°.

Für alle Eintrittswinkel α1 > α1_total gibt es nun keinen austretenden Strahl mehr, das Licht wird totalreflektiert und kann das optisch dichtere Medium nicht mehr verlassen. Und dies, obwohl die Grenzfläche nicht verspiegelt ist.


Bei der Beugung (Diffraktion) tritt Licht in den geometrischen Schattenraum, also dorthin, wo es durch rein geradlinige Ausbreitung niemals kommen dürfte.

Dabei macht es eigenartigerweise keinen Unterschied, ob wie oben abgebildet ein dünner Spalt frei bleibt, oder aber sich quasi das Gegenstück dazu in Form eines dünnen Drahts in der Welle befindet (vgl. Babinetsches Prinzip). Beugungserscheinungen sind dann bemerkbar, wenn das Hindernis ungefähr die Größe der Wellenlänge besitzt. Bei Licht ist dies im Bereich von 1 µm, bei Schall hingegen bei rund 1 m. Deshalb treten im Alltag Beugungseffekte mit Schall deutlich häufiger auf. Aber das schöne Farbenspiel einer CD oder DVD beruht zum Beispiel auf Beugung des sichtbaren Lichts.

Die meisten meiner Spektroskope zur spektralen Untersuchung von Licht besitzen als farbaufspaltendes Objekt ein sog. Beugungsgitter. Dies kann man sich wie eine sehr feines, eindimensionales Gitter vorstellen. Beleuchtet man ein solches Beugungsgitter mit einem Laser, so erkennt man dahinter einzelne Punkte.

Diese Punkte kommen durch konstruktive Interferenz jener Elementarwellen zustande, welche zwischen den Gittersprossen ihren Ursprung haben. Beim Maximum 0-ter Ordnung besitzen die einzelnen Elementarwellen einen Gangunterschied von 0·λ, beim Maximum 1-ter Ordnung genau 1·λ, beim Maximum 2-ter Ordnung 2·λ usw. Für die Minima dazwischen muss hingegen destruktive Interferenz (= Auslöschung) vorliegen, sprich der Wegunterschied Δs muß ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge betragen.

Forderung für die Beugungsmaxima (konstruktive Interferenz): Δs = n · λ

Forderung für die Beugungsminima (destruktive Interferenz): Δs = (2·n + 1) · λ/2

Durch diese Überlegungen kann für das Beugungsgitter sehr einfach die Formel für das n-te Maximum hergeleitet werden. Sie lautet:

Wie man anhand der Formel sieht, wächst der Ablenkwinkel φ mit zunehmender Ordnung n (das Maximum 2-ter Ordung befindet sich weiter außen als das Maximum 1-ter Ordnung) und zunehmender Wellenlänge λ. Rotes Licht (größeres λ) wird also stärker gebeugt als blaues Licht (kleineres λ)! Bei der Lichtbrechung (siehe weiter oben) ist es genau umgekehrt. Hier wird Blau stärker gebrochen als Rot, sprich für die Brechungsindexe gilt: n_Blau > n_Rot.

Reduziert man den Gitterabstand d, so erhält man ebenfalls stärker gebeugte Maxima. Bei einem Gitter mit der Gitterkonstante d = 1/100 mm ist die Aufspaltung der Maxima/sind die Ablenkwinkel φ rund doppelt so groß wie bei einem Gitter mit einer Gitterkonstante d = 1/50 mm.

Da die Unterscheidung der Beugung von der Streuung oftmals nicht ganz einfach ist noch ein Hinweis: Bei der Beugung spielt immer Interferenz eine Rolle und es bilden sich dadurch immer Maxima und Minima aus. Bei der nun folgenden Streuung spielen Interferenzen eine untergeordnete Rolle!


Unter Streuung (engl. scattering) versteht man in der Physik allgemein die Ablenkung von Teilchen- oder Wellenstrahlung (z.B. Licht) durch Wechselwirkung mit einem lokalen anderen Objekt, dem Streuzentrum. Beugung kann wie wir oben beim Gitter gesehen haben durch Freiräume erfolgen. Lichtstreuung erfolgt immer an bestimmten Objekten, zum Beispiel kleinen Wassertröpfchen oder einzelnen Atomen bzw. Molekülen. Beugung erfolgt auch im Vakuum, Streuung hingegen benötigt zwingend ein Medium, welches eben streut.

Die Stärke einer Streuung wird durch den sog. Streuquerschnitt angegeben. Der Name kommt daher, dass der Streuquerschnitt bei klassischer Streuung von Massepunkten an einer harten Kugel gerade gleich dem Querschnitt der Kugel ist. Da Atomkerne, welche auch als Streuzentren fungieren können, ungefähr eine Ausdehnung von 10^-12 cm und demnach bei quadratischer Näherung eine Fläche von 10^-24 cm² besitzen, hat sich als Einheit für den Wirkungsquerschnitt in der Kern- und Teilchenphysik auch das Barn mit 1 Barn = 10^-24 cm² eingebürgert. Je größer der Wirkungsquerschnitt, desto häufiger tritt der jeweilige Vorgang (Streuung) ein.

Licht wird vorrangig an freien oder gebundenen Elektronen gestreut. Bei der Streuung unterscheidet man zwischen elastischer und inelastischer Streuung:

  • bei der elastischen Streuung ist wie beim elastischen Stoß in der Mechanik die Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß gleich groß wie vorher. Auf Licht umgemünzt bedeutet dies, dass sich die Wellenlänge des gestreuten Lichts durch die Streuung nicht ändert! Beispiele hierfür sind die Thomson-Streuung, Rayleigh-Streuung oder Mie-Streuung.
  • bei der inelastischen Streuung ändert sie sich dagegen, da beispielsweise ein Teil der vorhandenen kinetischen Energie in Anregungsenergie eines Atoms/Elektrons übergeht oder etwa bei Ionisationsvorgängen, zum Aufbrechen einer Bindung verwendet wird. Hat das Photon also bei der Streuung Energie abgegeben/übertragen, so besitzt es nach der Streuung gemäß der bekannten Beziehung für die Energie des Photons E = h · f eine geringere Frequenz f bzw. größere Wellenlänge λ. Beispiele für die inelastische Streuung sind etwa die Compton-Streuung von Gammaquanten an Elektronen (siehe https://stoppi-homemade-physics.de/gammaspektroskopie/) oder die Raman-Streuung (siehe unten). Beim berühmten Photoeffekt (https://stoppi-homemade-physics.de/photoeffekt/) übergibt das Photon sogar seine komplette Energie an ein Elektron! Dies ist also der Extremfall einer inelastischen Streuung!

Noch eine kurze Anmerkung zu den verschiedenen atomaren Vorgängen:

Die Compton-Streuung wird gelegentlich auch zu den elastischen Streuungen gezählt, da ja die Energie des “einfallenden” Photons gleich der Energie des gestreuten Photons + kinetische Energie des angestoßenen Elektrons ist. Zur Herleitung des Comptoneffekts bedient man sich ja gerade des elastischen Stoßes. Man kann aber elastische/inelastische Streuung so definieren: Eine Streuung wird inelastisch genannt, wenn die Wellenlänge der Streustrahlung von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung abweicht, andernfalls nennt man die Streuung elastisch. Sogesehen muss die Comptonstreuung als inelastische Streuung gewertet werden, da ja das Photon Energie an das Elektron überträgt und dadurch seine Wellenlänge steigt/Energie sinkt. Die Rayleigh- und Thomson-Streuung sind demnach elastische Streuungen.

Die Rayleigh-Streuung erfolgt zumeist an im Atom gebundenen Elektronen, die Thomson-Streuung an freien Elektronen. In beiden Fällen ist die Wellenlänge der einfallenden Strahlung gleich der Wellenlänge der Streustrahlung. Neben der Rayleigh-Streuung gibt es auch noch die seltenere Raman-Streuung. Diese kommt immer dann zustande, wenn die Energiesprünge bei der Anregung in ein virtuelles Energieniveau und bei der Rückkehr unterschiedlich sind.

Bei der Stokeslinien der Raman-Streuung ist der Energiesprung bei der Emission geringer als bei der Anregung. Demnach liegt die Stokeslinie verglichen mit der Rayleigh-Hauptlinie im langwelligeren Bereich. Bei der Antistokeslinie der Raman-Streuung ist der Energiesprung bei der Emission größer als bei der Anregung. Die Antistokeslinie ist also verglichen mit der Rayleigh-Hauptlinie in Richtung Blau verschoben und besitzt daher sogar mehr Energie als die einfallende/anregende Strahlung.

Achtung: Bei Rayleigh- und Raman-Streuung erfolgt die Anregung des Elektrons in einen virtuellen Energiezustand! Bei der gewöhnlichen Lichtabsorption erfolgt die Anregung des Elektrons in einen realen Energiezustand! Das Photon muss also bei der gewöhnlichen Absorption resonant zu einem atomaren oder molekularen elektronischen Übergang sein. Raman- und Rayleigh-Streuung sind keine Resonanzphänomene! Die Streuung erfolgt bei ihnen wie schon gesagt über virtuelle Niveaus, tritt also auch für Photonenenergien außerhalb einer atomaren Resonanz auf.

Zuguterletzt noch eine Erklärung der Begriffe Fluoreszenz und Phosphoreszenz: Bei der normalen Absorption und Emission sind die energetischen “Sprünge” nach oben und unten gleich und erfolgen zwischen realen Energieniveaus. Bei der Fluoreszenz geben die angeregten Elektronen einen Teil ihrer Energie in Form von sog. Schwingungsrelaxationen ab und gelangen so auf ein tiefer gelegenes Energieniveau. Von dort springen sie dann nahezu ohne Zeitverzögerung in den Grundzustand. Der zuletzt erfolgte Sprung ist natürlich geringer als bei der Anregung. Dadurch besitzt das dabei emittierte Photon eine geringere Energie/größere Wellenlänge. Als Beispiel eignen sich meine uranhaltigen Mineralien: Diese können etwa mit blauen Licht (λ = 405 nm) angeregt werden und fluoreszieren dann schön im grün-gelben Licht mit größerer Wellenlänge.

Die Fluoreszenzstrahlung hört aber unmittelbar nach Beendigung der Anregung auf! Bei der sog. Phosphoreszenz ist dies anders. Hier springt das Elektron zwar auch in einen Zwischenzustand, aber von diesem ist der Übergang in den Grundzustand verboten/unwahrscheinlich. Daher verweilt das Elektron sehr lange in diesem und gibt zeitversetzt (oft innerhalb von Minuten bzw. sogar Stunden) Licht beim Übergang in den Grundzustand ab. Phosphoreszierende Stoffe leuchten also sehr lange nach!

Wie man sieht, wird die Physik, wenn man sie näher und genauer betrachtet, schnell sehr komplex. Aus diesem Grund verstehe ich natürlich jeden Schüler/jede Schülerin vollends, dem/der es vor dem Schulfach Physik graut 😉


Die erwähnte Rayleigh- und Mie-Streuung unterscheiden sich durch die Größe der Streuzentren. Bei der Rayleigh-Streuung ist das streuende Objekt sehr viel kleiner als die Wellenlänge λ des Lichts, welche ja für den sichtbaren Spektralbereich zwischen 400 nm und 700 nm liegt. Als Streuzentren kommen bei der Rayleigh-Streuung also zum Beispiel einzelne Atome oder Moleküle und ihre Elektronen in Frage. Diese Rayleigh-Streuung ist sehr stark von der Wellenlänge/Farbe des Lichts abhängig. Für die Stärke der Rayleigh-Streuung gilt die Proportionalität 1/λ^4 ≡ f^4! Blaues Licht mit seiner geringen Wellenlänge wird also deutlich stärker gestreut als rotes Licht mit seiner größeren Wellenlänge. Eine Halbierung der Wellenlänge λ bedingt also eine 16-fache Rayleigh-Streuung.

Genau dies ist der Grund, warum unser Himmel blau erscheint bzw. am Abend oder Morgen gelegentlich rot. Steht die Sonne sehr tief, so durchqueren die Lichtstrahlen bis zu uns eine sehr lange Strecke innerhalb der Erdatmosphäre. Auf diesen langen Weg wird das blaue Licht sehr stark zur Seite gestreut, das rote Licht hingegen deutlich weniger. Letzteres gelangt dann primär bis zu uns und färbt den Himmel rötlich.

Auch der sog. Blutmond bei einer totalen Mondfinsternis kommt auf diese Weise zustande.

Bei der Mie-Streuung sind die Streuzentren ungefähr so groß wie die Wellenlänge des Lichts, also im Bereich von 1 µm. Als Streuzentren kommen daher zum Beispiel kleinste Wassertröpfchen oder Staubpartikel in Frage.Die Stärke dieser Mie-Streuung ist im Gegensatz zur Rayleigh-Streuung kaum von der Wellenlänge/Farbe des Lichts abhängig. Sämtliche Farben werden bei der Mie-Streuung in etwa gleich gestreut. Dies ist auch der Grund, weshalb Wolken (diese bestehen ja aus kleinsten Wassertropfen) weiß erscheinen. Die Überlagerung der gleich stark gestreuten Farbanteile des Sonnenlichts ergibt eben die Farbe Weiß! Auch der sog. Tyndall-Effekt, den man zum Beispiel im Wald bei hoher Luftfeuchtigkeit beobachten kann, beruht auf dieser Mie-Streuung bzw. klassischer Streuung.


Experiment:

Zum experimentellen Nachweis der Mie-Streuung benötigt man wie bereits hingewiesen Streupartikel mit einer Größe im Bereich der Wellenlänge des Lichts.

Konkret standen mir vier unterschiedliche Materialien zur Verfügung:

  • Bärlappsporen (Lycopodium): Diese besitzen einen Durchmesser von rund 35 µm
  • Milch: In unbehandelter Rohmilch haben die Fettkügelchen einen Durchmesser von etwa 1 bis 5 µm.
  • Polystyrenekugeln mit einem Durchmesser von 1.5 µm
  • Latexkugeln mit einem Durchmesser von 1.305 µm

Die beiden zuletzt genannten Kugeln kommen eigentlich bei meinem Millikanversuch zur Bestimmung der Elementarladung e (https://stoppi-homemade-physics.de/millikanversuch/) zum Einsatz.

Die Bärlappsporen erwiesen sich als für den Versuch ungeeignet da zu groß. Die Streu/Beugungsphänomene waren infolgedessen viel zu klein.

Mit den Polystyrenekugeln konnte ich leider auch keine zufriedenstellenden Ergebnisse erzielen. Blieben noch die Latexkugeln mit einem Durchmesser von 1.305 µm.

Für die Herstellung der Proben werden Deckgläser aus der Mikroskopie benötigt. Zum Glück hatte meine Tochter noch ihr altes Mikroskop. Diese habe ich mit einem billigen Glasschneider zurechtgeschnitten.

Auf das größere Deckglas werden nun zwei Streifen Klebeband geklebt. In der Mitte muss für die Streupartikel natürlich ein Streifen frei bleiben.

Danach legt man das kleinere Deckglas auf die beiden Klebestreifen, sodass sich ein sehr dünner Zwischenraum ausbildet. Nun führt man die Flüssigkeit mit den darin enthaltenen Streupartikel seitlich zu diesem Zwischenraum. Aufgrund der Kapillarkräfte müsste die Flüssigkeit von selbst in den Zwischenraum gezogen werden. Zum Abschluss verklebt man an allen Seiten das obere, kleinere Deckglas mit dem großen, unteren Deckglas.

Zur Überprüfung der Proben beleuchtet man diese von oben mit einem Laserpointer. Hat man alles richtig gemacht, müssten sich unterhalb der Probe Ringe zeigen. Diese kommen aufgrund der Mie-Streuung zustande.

Wie sieht nun der Aufbau des Experiments aus? Ein Laser wird auf die Probe ausgerichtet. Hinter der Probe erfasst man nun mit einer Photodiode die gestreute Lichtintensität in Abhängigkeit vom Streuwinkel φ. Für diese Aufgabe eignet sich bestens ein Arduino. Die schwenkbare Photodiode befindet sich auf einem Servomotor. Dieser wird ausgehend von φ = 0° schrittweise angesteuert, die Intensität gemessen und dann der nächste Schritt unternommen.

Vom zentralen Intensitätsmaximum bei φ = 0° einmal abgesehen sind die zu erfassenden Intensitäten sehr gering. Demzufolge sind auch die über einen in Serie mit der Photodiode verschalteten Widerstand aufgrund des Photostroms abfallenden Spannungen klein. Für diesen Widerstand wählte ich den Wert 1 MOhm. Da die Photoströme aber teilweise nur im Bereich um die 1 nA liegen, ist mit Spannungen um die 1 mV zu rechnen. Diese kleinen Spannungen kann man mit dem analogen Eingang des Arduinos nur schwer messen. Die kleinste mit ihm messbare Spannung beträgt nämlich 5 V/ 1023 = ca. 5 mV. Daher verwende ich einen externen 16bit-DAC, den ADS1115. Mit diesem sind je nach eingestellter Verstärkung auch deutlich kleinere Spannungen messbar, zum Beispiel 0.125 mV in meinem Fall. Dies müsste eigentlich für die zu erwartenden geringen Intensitäten des Streumusters ausreichen.

Der gesamte elektronische Aufbau sieht wiefolgt aus:

Der Aufbau ist soweit fertig. Mittels des flexiblen Stativs kann ich die verschiedenen Proben wie gewünscht über der Drehachse des Servos positionieren.

Die experimentellen Ergebnisse lassen sich auch theoretisch beschreiben bzw. simulieren mittels der Lorenz-Mie-Theorie. Sie ist nach den Physikern Gustav Mie (1868-1957) und Ludvig Lorenz (1829-1891) benannt.

Empfehlen kann ich diesen tollen Online-Rechner zur Simulation der Mie-Streuung: https://omlc.org/calc/mie_calc.html

Die Messungen müssen natürlich im dunklen Raum erfolgen.

Hier nun meine experimentellen Ergebnisse im Vergleich zur Simulation, wobei die Intensitäten einmal linear und dann logarithmisch aufgetragen sind:

Ich bin eigentlich mit den Ergebnissen recht zufrieden. Zumindest das “1-te Nebenmaximum” (obwohl es sich ja um eine Streuung und keine Beugung handelt!) stimmt sehr gut mit der Theorie überein. Wenn ich an andere Mikropartikel (die hier verwendeten stammen ja von meinem Millikan-Versuch) herankomme, gibt es natürlich eine Ergänzung.


Arduino-Code: