Zeeman-Effekt

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Pieter_Zeeman

Der Zeeman-Effekt ist nach dem niederländischen Physiker Pieter Zeeman (25. Mai 1865 – 9. Oktober 1943) benannt. Für seine Verdienste bei den Untersuchungen über den Einfluss des Magnetismus auf die Strahlungsphänomene erhielt er 1902 den Nobelpreis für Physik.

Zuerst ein wenig Theorie…

Quantenzahlen

Die Quantenzahlen beschreiben die unterschiedlichen atomaren Zustände. Eng gekoppelt mit den diversen Quantenzahlen ist etwa die Energie der Elektronen bzw. des Kerns, der Drehimpuls bzw. Spin der atomaren Teilchen bzw. die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Orbitale) der Elektronen. Welche Quantenzahlen gibt es nun?

Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3 …

Nebenquantenzahl oder Bahnquantenzahl ℓ = 0, 1, 2, … n – 1

Für die unterschiedlichen Nebenquantenzahlen, welche u.a. die Orbitalform beeinflussen, hat man eigene Buchstaben vergeben. Diese lauten: s-Orbital für ℓ = 0, p-Orbital für ℓ = 1, d-Orbital für ℓ = 2, f-Orbital für ℓ = 3 und g-Orbital für  ℓ = 4.

magnetische Quantenzahl m = – ℓ, –ℓ + 1, …, ℓ – 1, ℓ

Spinquantenzahl s = ½ (Elektron)

Magnetische Spinquantenzahl ms = –1/2, +1/2

Damit zusammenhängende Größe = Drehimpulsvektor

Beim Bohrschen Atommodell galt ja folgende gequantelte Bedingung für den Drehimpuls L: Zwischen dem Betrag des Drehimpulses und der Nebenquantenzahl ℓ besteht folgender Zusammenhang:Für die z-Komponente des Drehimpulses gilt zudem

Beispiel: Drehimpulsvektor L und z-Komponente Lz für ℓ = 2

Jetzt könnte man sich fragen, woher ein Atom/Elektron die räumliche Orientierung (z-Achse) überhaupt kennt? Diese Vorzugsrichtung wird erst durch das Vorhandensein eines elektrischen oder magnetischen Felds und dessen räumliche Ausrichtung initialisiert! Fehlt ein solches, ist die jeweilige z-Achse quasi beliebig.

Zusammenhang Drehimpuls – magnetisches Moment:

Kreist das negativ geladene Elektron auf seiner “Bahn” um den Atomkern, so kann es als Kreisstrom betrachtet werden.

Dieser Kreisstrom erzeugt wie ein Elektromagnet ein Magnetfeld. Das Elektron erzeugt/besitzt also ein sog. magnetisches Moment μ.

Man kann sich diesen durch die Bewegung des geladenen Elektrons verursachten magnetischen Dipol (mit dem magnetischen Moment μ) wie einen kleinen Stabmagneten vorstellen.

Dieses magnetische Moment μ lässt sich wiefolgt berechnen:

L kann nun der Bahndrehimpuls bzw. der Eigendrehimpuls (= Spin) des Elektrons sein. Im letzteren Fall führt dies zu der sog. Feinstrukturaufspaltung der Spektrallinien!

Bei der Magnetresonanz befindet sich der zu untersuchende Patient in einem (starken) äußeren Magnetfeld B. Dieses wechselwirkt nun mit dem magnetischen Moment des Elektrons. Wie sieht aber diese Wechselwirkung genau aus? Stellen wir uns hierfür weiter den magnetischen Dipol als einen kleinen Stabmagneten vor.

Auf den Stabmagneten bzw. den magnetischen Dipol wirkt im äußeren Magnetfeld ein Kräftepaar und daher ein Drehmoment T. Dieses möchte den Stabmagneten parallel zum Magnetfeld ausrichten, also für einen Winkel α = 0° sorgen. Das wirkende Drehmoment wäre dann bei α = 0° verschwunden, bei α = 90° maximal und bei α = 180° wieder 0. Dieser Verlauf entspricht jenem einer Sinusfunktion.

Die exakte Formel für das Drehmoment T lautet:

Nun ist das magnetische Moment μ aber mit einem Drehimpuls L gekoppelt (siehe obige Formel mit dem Bohrschen Magneton). Wirkt nun ein Drehmoment T auf einen Drehimpuls L, so kommt es gemäß der Beziehung T = dL/dt zu einer Ausgleichsbewegung, der sog. Präzession. Dies ist zum Beispiel auch bei einem sich drehenden Kreisel der Fall, welcher gegenüber der Senkrechten eine gewisse Neigung aufweist. Hier kommt das Drehmoment T aber nicht durch ein Magnetfeld sondern durch die Schwerkraft zustande.

Ebenso wie der Kreisel um die Senkrechte „torkelt“, torkelt nun der Drehimpuls des Elektrons mit der sog. Lamorkreisfrequenz ωLamor und verhindert dadurch eine Parallelausrichtung zum Magnetfeld. Diese Lamorfrequenz lässt sich auch berechnen. Es gilt:

Die Lamorfrequenz ist unabhängig vom Drehimpuls L und α, sie hängt aber von der Stärke des Magnetfelds B ab. Je stärker das Magnetfeld, desto schneller präzessiert der „Elektronenkreisel“.

Dies kann man auch schön mit diesem Beispiel verdeutlichen: Eine Kompassnadel wird in die Nähe eines Stabmagneten gebracht und in Schwingung versetzt. Nahe beim Stabmagneten, also im stärkeren Magnetfeld, schwingt die Kompassnadel schnell. Weiter weg, wo das Magnetfeld schwächer ist, schwingt sie hingegen langsamer. Mit der Lamorfrequenz verhält es sich ähnlich.

Das äußere Magnetfeld B möchte also den magnetischen Dipol parallel zu sich ausrichten. Wie hängt dies nun mit der potenziellen Energie des magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld zusammen? Da das System in den energieärmsten Zustand strebt, scheint also eine parallele Ausrichtung des magnetischen Dipols bzw. des magnetischen Moments μ zu den Feldlinien B die geringste Energie zu besitzen.

Was die potenzielle Energie betrifft so ist diese minimal, wenn der magnetische Dipol bzw. sein magnetisches Moment in B-Richtung ausgerichtet ist (Winkel α = 0°) und maximal in entgegengesetzter Richtung (Winkel α = 180°). Die potenzielle Energie verläuft also wie die negative Cosinusfunktion. Dies führt uns zur Formel für Epot.

Für diese gilt:Die potenzielle Energie durch die unterschiedliche Lage des magnetischen Moments μ des Elektrons im äußeren Magnetfeld hängt also von der z-Komponente Lz des Drehimpulses ab, also jener Komponente in Richtung des Magnetfelds!

Diese z-Komponente des Drehimpulses kann bei gegebener Nebenquantenzahl ℓ aber nur die Werte m = –ℓ, –ℓ + 1, …,0, …, ℓ – 1, ℓ annehmen. Die möglichen potenziellen Energien sind also auch gequantelt und gehorchen folgender Formel:

Man nennt daher die Quantenzahl m auch magnetische Quantenzahl, da deren Wert für die Energie des Elektrons in einem Magnetfeld relevant ist!

Genau diese unterschiedliche potenzielle Energie führt in einem (äußeren) Magnetfeld also zu einer energetischen Aufspaltung der Niveaus. Wie man anhand der Formel für Epot erkennen kann, nimmt die Energieaufspaltung linear mit der Stärke B des Magnetfelds zu. Die Termschema bei unterschiedlichen Magnetfeldern sehen daher wie folgt aus:

Licht (Photonen) wird ja beim Übergang des Elektrons von einem Energieniveau in ein tiefer gelegenes emittiert. Wenn nun durch das äußere Magnetfeld diese Niveaus aufspalten, so kann nun das Elektron andere Sprünge als ohne Magnetfeld ausführen. Demnach werden nun verglichen mit dem Fall „kein Magnetfeld“ Photonen mit abweichenden Frequenzen emittiert. Man spricht dann von der sog. Zeeman-Aufspaltung oder dem Zeeman-Effekt!

Diese Energieaufspaltung Epot ist wie schon erwähnt gemäß der Formel

direkt proportional zum herrschenden Magnetfeld B. Ein doppelt so starkes Magnetfeld bedingt also eine doppelt so große Aufspaltung der Spektrallinien! Diese Aufspaltung der Spektrallinien ist aber selbst bei starken Magnetfeldern äußerst gering.

Berechnen wir hierfür einmal die unterschiedlichen potenziellen Energien:

Die Photonen des sichtbaren Lichts besitzen eine Energie von rund 2.5 eV. Die Zeemanaufspaltung beträgt hingegen nur etwa 60 µeV, sie ist also extrem gering.

Hierzu ein konkretes Beispiel: Ein Elektron fällt im Termschema um 2.5 eV nach unten und emittiert dabei Licht folgender Wellenlänge: Durch die Zeemanaufspaltung besitzt nun das Photon folgende Wellenlänge:

Eine solch geringe Aufspaltung der Emissionslinien kann mit einem gewöhnlichen Spektroskop nicht aufgelöst werden. Selbst die Natrium-D-Linien mit ihren 0.6 nm Abstand sind schon für etliche Spektroskope eine Herausforderung.

Abhilfe schafft hier ein spezielles Interferometer, das sog. Fabry-Perot-Interferometer. Mit diesem lassen sich selbst so geringe Wellenlängenverschiebungen wie beim Zeeman-Effekt erfassen.

Wie zum Schluss dieses Exkurses erwähnt lässt sich der Zeeman-Effekt spektroskopisch nur äußerst schwer nachweisen. Mit einem sog. Fabry-Perot-Interferometer, welches ich bereits gebaut habe (https://stoppi-homemade-physics.de/fabry-perot-interferometer/), ist dies aber unter Umständen, abhängig von der Finesse und dem erzielten Magnetfeld möglich.

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Helium-Neon-Laser#/media/Datei:He-Ne-Laser-Energieschema.svg

 

Als Laser kommt ein Helium-Neon-Laser mit λ = 632.8 nm zum Einsatz. Diesen konnte ich für nur 20 Euro günstig gebraucht erwerben.

Der Laser muss ja zur Beobachtung des Zeeman-Effekts in ein Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B gebracht werden. Hierfür werde ich den HeNe-Laser mit Draht umwickeln und durch diesen dann Strom leiten. Ich hoffe, dass dann damit im Interfernzmuster der Fabry-Perot-Interferometers eine leichte Veränderung zu beobachten ist.

Fortsetzung folgt….