Unter einer erzwungenen Schwingung versteht man eine zumeist harmonische Schwingung eines Resonators, welche durch einen Erreger dauerhaft angeregt wird. Vorgegeben ist die Erregerfrequenz f_E. Es stellt sich dann beim Resonator eine Schwingung mit der Frequenz f_R = f_E, der Amplitude x₀ und der Phasenverschiebung Δφ gegenüber dem Erreger ein.

Der Resonator besitzt eine Eigenfrequenz f_R,0 ganz ohne Einwirkung des Erregers. Diese Frequenz passt natürlich am allerbesten zu ihm. Besitzt der Erreger nun genau diese Eigenfrequenz, so tritt Resonanz auf und die Amplitude des Resonators steigt je nach Dämpfung sehr stark an. Bei keinerlei Dämpfung kommt es sogar zur sogenannten Resonanzkatastrophe, da sich die Schwingung des Resonantors immer weiter aufschaukelt und verstärkt.

Liegt die Erregerfrequenz unterhalb bzw. oberhalb dieser Eigenfrequenz, so ist die sich einstellende Amplitude deutlich geringer:

Anmerkung: Der Verlauf beider Graphen hängt deutlich von der Dämpfung ab! Bei einer sehr geringen Dämpfung erhält man für den Amplitudengraph x₀(f_E) eine sehr schmales, aber sehr hohes Maximum bei f_R,0 und für die Phasenverschiebung Δφ(f_E) nahezu eine Stufenfunktion mit der Sprungstelle bei f_R,0. Je stärker die Dämpfung, desto mehr weicht der Graph von dieser ab (siehe untere Abbildung). Im Resonanzfall gilt aber x₀ = maximal bzw. Δφ = 90°!

Die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator hängt auch sehr stark von der Erregerfrequenz ab. Bei sehr niedrigen Erregerfrequenzen liegt die Phasenverschiebung bei 0°, sprich Erreger und Resonator schwingen synchron. Im Resonanzfall beträgt Δφ = 90°, sprich die Erregerkraft ist dann maximal, wenn der Resonator gerade durch die Nulllage geht. Bei sehr hohen Erregerfrequenzen beträgt die Phasendifferenz 180°, sprich Erreger und Resonator schwingen gegengleich. Diese Phasenverschiebungen erkennt man auch sehr gut in meiner Excel-Simulation. Hierfür wird die Differentialgleichung mittels Euler-Verfahren schrittweise gelöst:

EXCEL-Datei: Excel_Schwingung_erzwungen

Im Physiklabor behandle ich auch das Thema „Erzwungene Schwingungen“ mit folgenden Schüler-Experiment:

Eine Feder mit Gewicht ist über ein Seil mit dem Ausleger/Exzenter eines langsamen Elektromotors verbunden. Die Schüler erhöhen sukzessive die Motorspannung und damit die Erregerfrequenz (kleinere Periodendauer τ_Motor). In Abhängigkeit von τ bestimmen sie die Amplitude der Federschwingung. Zuvor haben sie noch die Eigenperiodendauer τ_Feder der Feder gemessen. Zum Schluss tragen sie die Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerperiodendauer auf. Im Bereich der Eigenperiodendauer τ_Feder sollte diese dann ein Maximum besitzen.

Auf Willhaben entdeckte ich vor einiger Zeit ein günstiges Physikkonvolut, welches u.a. einen Aufbau für erzwungene Schwingungen enthielt. Dieses musste ich einfach kaufen…

Bei mir angekommen, führte ich das Experiment natürlich gleich durch. Der originale Metallzylinder wird ja vom Elektromagnet nur angezogen, es findet also keine Abstoßung statt. Deshalb tauschte ich diesen gegen Permanentmagnete mit Loch aus. Auch musste ich den Metallhalter aus Stahl gegen einen aus Aluminium wechseln, denn die Permanentmagnete klebten sonst aufgrund der Anziehung am Halter.

Hier der originale Aufbau mit dem Eisenzylinder:

Und hier die umgebaute Variante mit dem Aluminiumstativ und den Permanentmagneten:

Die Eigenfrequenz f_R,0 der Feder bestimmte ich auf zwei Arten: Einmal mittels Videoanalyse und dann noch mittels Formel für die Periodendauer eines Federpendels. Ich kam auf eine Eigenfrequenz von f_R,0 = 4.10 Hz.

Für das Hauptexperiment benötigte ich noch einen leistungsstarken Funktionsgenerator. Zum Glück hatte ich einen solchen bereits gebastelt. Dieser verwendet den Leistungsoperationsverstärker OPA549, welcher Ströme bis zu 6A liefern kann. Eingesetzt hatte ich diesen bereits beim Einstein-de Haas-Versuch bzw. den Chladnischen Klangfiguren. Gespeist wird der Verstärker mittels zweier Schaltnetzteile, um die symmetrische Spannung bereitzustellen.

Angesteuert wird der Operationsverstärker mittels Funktionsgenerator-App. Die Verstärkung am Potentiometer stellte ich so ein, dass die Spannungsamplitude am Ausgang rund 3-4 V betrug.

Hier nun der gesamte experimentelle Aufbau:

Zum Abschluss die Resonanzkurve, also die sich einstellende Amplitude des Resonators in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz. Wie zu erwarten besitzt die Kurve ein ausgeprägtes Maximum im Bereich der Eigenfrequenz des Resonators bei 4.10 Hz:

Zum Schluss das Youtube-Video:

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Den im Schullabor durchgeführten Versuch mittels Getriebemotor, Rolle und Feder möchte ich für ein Youtube-Short nun auch zuhause durchführen. Daher habe ich folgende Teile besorgt:

Die originale Spiralfeder war leider deutlich zu „weich“, sprich sie dehnte sich selbst unter geringer Belastung viel zu stark. Ihre Federkonstante k war daher zu niedrig. Was konnte ich dagegen tun?

Nun eine Spiralfeder kann als Serienschaltung von Federn mit nur einer einzigen Windung betrachtet werden. Besitzt jede einzelne Windung eine Federkonstante k, so besitzt die ganze Feder mit insgesamt n Windungen die Federkonstante…

Haha, zuerst einmal selbst nachdenken 😉

Bei zwei parallelen Federn mit je der Federkonstante k erhält man eine Gesamtfederkonstante von 2 · k, d.h. die Feder wird insgesamt härter. Dies ist auch leicht zu erklären. Wenn man die Parallelschaltung mit der Kraft F belastet, so trägt jede der beiden Federn die Kraft F / 2 und daher ihre Dehnungen auch nur Δx / 2. Halbe Dehnung bei gleicher Kraft bedeutet aber eine doppelt so große Federkonstante k!

Wie sieht es nun bei der Serienschaltung aus? Nun, belaste ich die Serienschaltung mit der Kraft F, so zieht die untere Feder an ihrem oberen Ende die obere Feder ebenfalls mit F nach unten. Dies folgt auch durch das Newtonsche Axiom actio = reactio (Kraft = Gegenkraft). Die obere Feder zieht dann auch mit F an der Decke. Wenn jede der beiden Federn aber mit F belastet wird, so dehnt sich jede der beiden Federn auch mit Δx. Dann beträgt die Gesamtdehnung durch die Serienschaltung aber 2 · Δx. Doppelte Dehnung bei gleicher Kraft bedeutet aber nun halbe Federkonstante, sprich die Feder wird durch die Serienschaltung weicher!

Um die zu weiche, lange Spiralfeder härter zu machen, musste ich sie also nur kürzen. Hatte sie zum Beispiel zuvor 30 Windungen und die Gesamtfederkonstante betrug k/30, so beträgt die neue Federkonstante der kürzeren Feder mit zum Beispiel nur noch 20 Windungen k/20, was ja größer als k/30 ist…

Insgesamt musste ich zwei Mal meine Feder bearbeiten und kürzen:

Vor einiger Zeit hatte ich auch 2 Massesets für Federn gekauft. Deren Teller ist leider aber sehr schwer und wiegt 50 g. Damit wäre die Dehnung meiner gekürzten Feder noch immer zu groß. Daher habe ich mir kurzerhand einen eigenen kompletten Gewichtsteller gelötet:

Dieser bringt nun nicht einmal 12 g auf die Waage:

Als nächstes musste ich die Federkonstante k meiner gekürzten Spule bestimmen. Dies ist sehr einfach und man muss lediglich die Dehnung Δx unter Belastung mit der Kraft F ermitteln:

Ohne Belastung/Kraft befand sich das untere Federende bei 57.7 cm:

Danach habe ich die Feder mit dem leichten Gewichtsteller belastet. Eine Masse von m = 11.68 g = 0.01168 kg entspricht genau einer Gewichtskraft F_g = m · g = 0.01168 · 9.81 = 0.1146 N. Nun befand sich das untere Federende bei einer Höhe von 37.1 cm. Die Dehnung betrug daher Δx = 57.7 – 37.1 cm = 20.6 cm.

Mit diesen Werten konnte ich dann mein Gehirn füttern und die Federkonstante k bzw. die Periodendauern τ für unterschiedliche Massen m berechnen:

Ich habe nämlich einige kleine Massestücke mit m = 20 g zur Verfügung:

Wie man sieht muss ich mit maximal 66 Schwingungen pro Minute rechnen. Bei diesem Versuch wählt man natürlich bewusst die Erregerfrequenz zuerst zu gering, dann genau passend und zum Schluss zu hoch. Nur im Falle der Resonanz sollte dann die Feder am stärksten schwingen. Genau aus diesem Grund habe ich mich für einen kleinen 12 V Getriebemotor mit 80 U/min entschieden. Damit sollte ich also deutlich über die Resonanzfrequenz kommen und natürlich auch viel niedriger, wenn ich den 12 V Motor z.B. nur mit 3 V ansteuere.

Leider habe ich vor einigen Tagen mitbekommen, dass der deutsche Elektronikhändler http://www.pollin.de Insolvenz angemeldet hat. Dies betrübte mich natürlich, denn auch ich habe über sehr viele Jahre immer wieder gerne dort eingekauft. Legendär sind die Restposten von Pollin mit zum Teil tollen Geräten zu Ramschpreisen. Leider flauten konkret diese Angebote in den letzten Jahren deutlich ab und es wurde immer mehr Chinaware angeboten. Damit verlor Pollin doch irgendwie sein Alleinstellungsmerkmal und man ist wohl so nicht wirklich konkurrenzfähig in Zeiten wie diesen. Sehr schade und ich hoffe, dass uns/mir dieser Laden irgendwie erhalten bleibt 🙁

Und genau aus diesem Grund habe ich Anfang August eine größere Bestellung bei Pollin aufgegeben, um ihn quasi zu unterstützen. Diese Sachen sollten eigentlich demnächst hier eintreffen, dann kann es auch gleich weitergehen…

So, die Pollin-Bestellung ist ganz ohne Probleme angekommen. Natürlich befand sich in dem riesigen Karton nicht bloß der Getriebemotor 😉

An den Getriebemotor muss ich ja ein Seil anbringen, welches dann die Feder über eine Rolle periodisch mit der Erregerfrequenz f_E nach oben zieht. Dazu habe ich mir aus einem Servoarm und einer Distanzhülse folgendes gebastelt:

Hier der gesamte Aufbau auf meinem durch all die Physikexperimente schon stark mitgenommenen Küchentisch:

Als Gewicht wählte ich nur den selbstgebauten Gewichtsteller mit m = 11.68 g ganz ohne zusätzliche Massen:

Zunächst bestimmte ich die Eigenfrequenz f_R,0 der Feder ganz ohne Erregereinkopplung, also mit ausgeschalteten Getriebemotor! Dazu nahm ich ein Video der Schwingung auf und analysierte es mit der tollen Software „Tracker“. Ich bestimmte die vergangenen frames, konkret 212, innerhalb von 6 vollständigen Schwingungen, also 6 · τ. Der zeitliche Abstand zwischen zwei benachbarten frames lag bei 0.034 sek. Daher konnte ich sehr einfach die Periodendauer zu τ_R,0 = 1.201 sek bzw. die Eigenfrequenz des Resonators zu f_R,0 = 0.832 Hz bestimmen:

Hinweis: Dem sehr aufmerksamen Leser wird dabei etwas eigenartig vorkommen. Weiter oben habe ich bereits die Periodendauern τ theoretisch mittels experimentell bestimmter Federkonstante k und verschiedenen Massen m angegeben. Für m = 11.68 g sollte demnach eine Periodendauer τ_R,0 = 0.91 sek zu erwarten sein. Dies weicht doch erheblich von der gemessenen Periodendauer τ_R,0 = 1.201 sek ab! Warum ist dies so? Nun, der Gewichtsteller wiegt lediglich 11.68 g und die Feder selbst auch in etwa in diesem Bereich. Daher dehnt sich die Feder durch sich alleine schon deutlich bzw. es liegt nicht mehr der Fall vor, dass die Masse der Feder gegenüber der angehängten Masse zu vernachlässigen sei. Dadurch ergibt sich real dann eine ziemlich abweichende Periodendauer und die einfache Formel τ = 2 · π · √(m / k) gilt so nicht mehr!

Hier sieht man sehr gut die oben angebrachte Umlenkrolle…

…hier noch etwas genauer…

…und hier schlussendlich das allerwichtigste Familienmitglied 😉

Mein geliebtes DIY-Laptop-Labornetzteil wieder einmal im Einsatz:

Die aktuelle Erregerfrequenz f_E bestimme ich mit meiner schon oft benötigten Arduino-IR-Reflexlichtschranke:

Diese befestigte ich einfach mit ein wenig Plastilin-Knetmasse auf dem Getriebemotor. Auf die Rückseite des Servoarms klebte ich ein kleines Stück Aluminiumfolie:

Ergebnisse:

Bei einer sehr/zu geringen Frequenz von f_E = 0.25 Hz ist die Amplitude x₀ noch sehr klein:

Bei f_E = 0.81 Hz „explodierte“ die Schwingung nahezu (vgl. Resonanzkatastrophe) und die Amplitude x₀ war maximal, wie es für den Resonanzfall auch zu erwarten ist. Zur Erinnerung: Die Eigenfrequenz der Feder ohne Fremderregung beträgt f_R,0 = 0.832 Hz!

Bei f_E = 1.35 Hz ist die Schwingungsamplitude wieder sehr klein, da in diesem Fall die Erregerfrequenz viel zu hoch ist für die Feder:

Dieses recht einfache und günstige Experiment eignet sich wunderbar für das Schullabor oder eine vorwissenschaftliche Arbeit. Die Kosten belaufen sich auf nur rund 30 Euro. Vergleichsprodukte aus dem Lehrmittelhandel kosten über das 10-fache. Das bekannte Pohlsche Pendel zur Untersuchung von erzwungenen Schwingungen kostet sogar fast 2200 Euro, da bleibt einem die Spucke weg.

Das Youtube-Video zum Experiment reiche ich wie immer nach…