In diesem Experiment dreht sich im wahrsten Sinne alles um einen Propeller und zwar möchte ich die Schubkraft eines Propellers in Abhängigkeit von der elektrischen Leistung P = U · I und der Drehfrequenz f ermitteln. Für letzteres kommt mein Arduino-Drehzahlmesser auf Basis eines Infrarot-Reflexionssensors zum Einsatz, welcher hier dokumentiert wurde: https://stoppi-homemade-physics.de/drehzahlmesser/.

Elektromotor und Propeller verwende ich aus meinem Tragflügelprojekt, von daher konnte ich gleich loslegen. Die Schubkraft messe ich aber dieses Mal ausnahmsweise nicht mit einem Biegebalken + HX711, sondern per zweiseitigen Hebel aus LEGO-Techniksteinen und einer gewöhnlichen Waage. Der gesamte Aufbau sieht wiefolgt aus:

Der Elektromotor wird von meinem geliebten Selbstbau-Labornetzteil versorgt:

Die Rotationsfrequenz f bestimme ich wie schon gesagt mit meinem DIY-Drehzahlmesser:

Für die bessere Bestimmung der Drehzahl habe ich an die beiden Propellerenden jeweils ein Stück Aluminiumfolie geklebt:

Daher zeigt das Display nicht f, sondern 2 · f an…

Na, dann drehen wir einmal den Motor ordentlich hoch:

Bei U = 6.1 V und I = 2.78 A zeigte die Waage immerhin eine Masse von 108 g an. Dies entspricht nach F = m · g einer Kraft von 0.108 · 9.81 = 1.0595 N:

Die Drehzahl f betrug in diesem Fall f = 234 / 2 = 117 Hz:

Wir haben es hier ja mit einem zweiseitigen Hebel zu tun. Daher entspricht die auf der Waage angezeigte Kraft in der Regel nicht der Schubkraft, denn es gilt:

Wir benötigen also für die Bestimmung der Schubkraft auch noch die Längen L₁ und L₂ der beiden Hebel.

L₁ = 20 cm:

L₂ = 10 cm:

Daher zeigt die Waage konkret immer die doppelte Schubkraft an. Bei 108 g beträgt sie also 1.0595 N : 2 = 0.53 N. Hier die gesammelten Werte:

Der Graph F = F(f) sieht sehr stark nach einer Parabel aus:

Gilt tatsächlich F = k · f², so müsste man für den Graphen F = F(f²) eine Gerade erhalten. Dies überprüfte ich natürlich gleich:

Voilà, eine wunderschöne Gerade…

Zum Schluss zeichnete ich noch den Graphen F(P), also die Schubkraft in Abhängigkeit von der Motorleistung. Auch dieser Graph war annähernd linear:

Wie immer begnüge ich mich aber nicht mit den experimentellen Ergebnissen. Ich möchte sie auch immer physikalisch erklären bzw. sie mit der Theorie vergleichen können. Konkret geht es um die quadratische Abhängigkeit der Schubkraft von der Drehzahl, also F = k · f².

Gehen wir von einem um 45° geneigten Propellerblatt mit der Geschwindigkeit v aus. Im Laborbezugssystem, also in meiner Küche, bewegt sich der Propeller mit v und das Luftteilchen steht still. Wechseln wir aber das Bezugssystem, indem wir auf den sich drehenden Propeller springen, so ruht der Propeller und das Luftteilchen kommt diesen mit der Geschwindigkeit v entgegen:

Das Luftteilchen wird infolge reflektiert. Durch die 45°-Neigung verlässt das Luftteilchen den Propeller horizontal. Wechseln wir jetzt wieder in das Labor/Küchen-Bezugssystem, so müssen wir noch zusätzlich einen Geschwindigkeitvektor v senkrecht nach oben addieren:

Das Luftteilchen erhält also im Laborbezugssystem einen Impulsübertrag von Δp = m · Δv = m · √2 · v schräg nach rechts oben. Es gilt aber der Impulserhaltungssatz, daher erhält der Propeller einen Impulsübertrag von –Δp nach links unten:

Uns interessiert aber für den Schub nach vorne nur die x-Komponente dieses Impulsübertrags, also Δp_x = m · √2 · v · cos(45°). Dies ist also der Impulsübertrag eines einzelnen Luftteilchen. Der Propeller stößt aber natürlich mit sehr vielen Luftteilchen zusammen. Gehen wir von einer Teilchendichte n aus. Pro Sekunde durchpflügt er dann das Luftvolumen V · f bzw. trifft darin auf n · V · f Luftteilchen:

Jetzt kommen wir zur Schubkraft F: Die Kraft ist genau der Impulsübertrag pro Sekunde. Wir kennen den Impulsübertrag pro Luftteilchen und die getroffenen Luftteilchen pro Sekunde. Multiplizieren wir beide Terme miteinander, so erhalten wir den Impulsübertrag pro Sekunde:

Für die Propellergeschwindigkeit müssen wir natürlich einen Mittelwert nehmen, denn nicht alle Teilchen treffen ja die Propellerspitze. Man kann hier die Geschwindigkeit auf halben Weg zur Propellerspitze nehmen, also v = 1/2 · ω · r. In der letzten längeren Formel erkennt man, dass die Drehfrequenz f doppelt vorkommt. Daher gilt die experimentell bestätigte Proportionalität F = k · f², Heureka…